La lettera domenicale

Per compilare tabelle previsionali della Pasqua, come quelle di Dionigi il Piccolo, una volta calcolata la data del plenilunio pasquale è necessario compiere l’ultimo passo e individuare la domenica che segue il plenilunio. Per far questo occorre conoscere in quali giorni dell’anno in esame cadono le domeniche. A questo scopo in ambito ecclesiastico è stata introdotta la lettera domenicale. Con questo nome si indica una delle sette lettere al principio dell’alfabeto (A, B, C, D, E, F, G), quando la si attribuisce a un anno per indicare la posizione in esso delle domeniche: se si segna la A al 1 gennaio, la B al 2 gennaio, la C al 3 gennaio, la D al 4, la E al 5, la F al 6, la G al 7, ricominciando con la A all’8, la B al 9, e così via fino al 31 dicembre, le domeniche cadranno nei giorni accompagnati dalla lettera domenicale dell’anno.

Come in molti altri casi, con la lettera domenicale la Chiesa riprende in realtà una tradizione romana: i Romani indicavano infatti con le otto lettere da A ad H, segnate accanto ai giorni nei calendari o fasti, il ciclo delle nundinae, il periodo di otto giorni da essi usato come la nostra settimana fino a quando, a cavallo dell’inizio dell’era volgare, fu importata a Roma la settimana di origine orientale, che gradualmente sostituì il ciclo nundinale già nell’alto impero.

Sapendo con quale giorno della settimana inizia un dato anno, è immediato sapere in quali giorni della settimana cadono tutti i giorni dell’anno e in particolare le domeniche. Infatti, se assegniamo la lettera A al primo giorno dell’anno, la B al secondo, la C al terzo, e così via fino alla G, per poi ricominciare ciclicamente dalla A, fino al 31 dicembre, la lettera A indicherà tutti i giorni dell’anno che cadono lo stesso giorno settimanale del 1 gennaio, la B del 2 gennaio, e così via. Se l’anno inizia di domenica, le domeniche cadranno tutte nei giorni segnati con A e la lettera domenicale dell’anno sarà A. Se l’anno inizia di sabato, le domeniche cadranno nei giorni segnati con B, e la lettera domenicale sarà B. In generale, le domeniche saranno tutte caratterizzate dalla stessa lettera compresa tra A e G, che è appunto la lettera domenicale specifica dell’anno.

Dal fatto che mod₇[365] = 1, discendono due conseguenze tra di esse legate: la prima è che ogni anno (non bisestile) inizia e finisce con lo stesso giorno della settimana; la seconda e più importante è che, considerando un dato anno e il giorno della settimana con cui esso inizia (ad esempio il giovedì), l’anno successivo inizierà con il giorno della settimana successivo (nel nostro esempio il venerdì). Ne consegue che la lettera domenicale dell’anno successivo è la lettere immediatamente precedente quella dell’anno considerato. Poiché il sistema è ciclico, la lettera che precede la A è la G.

Nel caso degli anni bisestili è necessario considerare due lettere domenicali, la prima valida per gennaio e febbraio (fino al 29 febbraio compreso, oppure fino al 24 bis sextus, nel caso si perpetui la tradizionale pratica romana di inserire il giorno bisestile dopo il 24 febbraio: in ogni caso, poiché la lettera domenicale è usata essenzialmente per il calcolo della Pasqua, la questione ha rilevanza sostanzialmente accademica), la seconda per i rimanenti mesi dell’anno.

Infatti, in linea con la tradizione romana (sulla quale è nato il calcolo della Pasqua), che sentiva il giorno bisestile come una aggiunta spuria, esisteva un solo calendario con il ciclo delle lettere domenicali, quello degli anni ordinari (lo stesso accade ad esempio per il ciclo delle epatte). Vigendo il principio generale per il quale lo scorrere della settimana non subisce mai interruzioni, poiché il giorno bisestile non è considerato nel ciclo delle lettere, la sua intercalazione comporta che le domeniche successive cadano un giorno prima di quel che avverrebbe negli anni ordinari. In altre parole, la lettera domenicale della porzione d’anno successiva all’intercalazione è quella immediatamente precedente alla lettera valevole in gennaio e febbraio. Nell’uso le due lettere sono riportate nell’ordine: prima quella di gennaio e febbraio, poi quella da marzo a dicembre. Poiché la lettera domenicale di gennaio e febbraio a sua volta è quella che discende da quella dell’anno precedente secondo la regola generale, è facile derivare meccanicamente la sequenza delle lettere domenicali a partire dalla lettera nota per un certo anno.

Ad esempio, il 1998 è iniziato con un giovedì, quindi la prima domenica ha la lettera D (giovedì = A, venerdì = B, sabato = C, domenica = D), che è la lettera domenicale di quell’anno. Anche il 2004, anno bisestile, è iniziato con un giovedì, quindi la lettera domenicale valida per gennaio e febbraio è ancora la D; per i mesi rimanenti, si deve considerare la lettera domenicale che precede la D, ovvero la C, quindi la coppia di lettere domenicali del 2004 è DC. A partire dalla lettera domenicale del 1998, si può anche calcolare meccanicamente la sequenza (si ricordi che il 2000, secondo la regola gregoriana, è stato bisestile): 1998(D), 1999(C), 2000(BA), 2001(G), 2002(F), 2003(E), 2004(DC), 2005(B), 2006(A), …

La lettera domenicale può allora essere tabulata metodicamente per il desiderato arco temporale. Il metodo è lo stesso per il calendario giuliano e per quello gregoriano: solo nel caso gregoriano occorre ricordare che gli anni secolari non divisibili per 400 non sono bisestili.

Tavola delle lettere domenicali nel calendario giuliano

Per il calendario giuliano, si ottiene una tavola come la seguente (l’anno è identificato in modo ovvio con le sue parti secolare e non secolare):

Nel calendario giuliano, la sequenza delle lettere domenicali si ripete immutata ogni 28 anni, cioè dopo 7 cicli quadriennali; in altre parole, 28 anni giuliani contengono (per costruzione) un numero esatto di settimane (infatti 21 * 365 + 7 * 366 = 10227 = 7 * 1461). Perciò è anche utile riportare la lettera domenicale in funzione dell’anno nel ciclo solare di 28 anni, cioè nel ciclo convenzionale il cui inizio è posto nell’anno 9 a.C., il quale, secondo il calendario giuliano, iniziò di lunedì.

Questa osservazione offre un metodo alternativo per il calcolo della lettera domenicale ed eventualmente della Pasqua: detto A l’anno in esame, basta calcolare mod₂₈[A + 9] e cercare il corrispondente valore della lettera domenicale nella tabella (ovviamente il valore 0 corrisponde al numero del ciclo solare 28).

Tavola delle lettere domenicali nel calendario gregoriano

Con lo stesso metodo meccanico è possibile ricavare la tavola delle lettere domenicali per il calendario gregoriano. Occorre solo ricordare che, nel calendario gregoriano, gli anni secolari non divisibili per 400 non sono bisestili. Ora questo fatto, che in generale complica le cose e in apparenza rende impossibile tabulare le lettere domenicali, in realtà porta una semplificazione. Si dà infatti il caso che 400 anni gregoriani contengano un numero esatto di settimane (infatti: 303 * 365 + 97 * 366 = 146097 = 7 * 20871). Questo significa che la sequenza delle lettere domenicali si ripete immutata ogni 400 anni gregoriani. Anche in questo caso si possono quindi formare semplici tabelle, come la seguente:

Si ritrovano le lettere domenicali già trovate in precedenza per altra via nei vari esempi.

Un semplice algoritmo di calcolo della lettera domenicale gregoriana

Si è detto che le lettere domenicali nel calendario gregoriano si ripetono ogni 400 anni. Questo suggerisce un metodo automatico di calcolo della lettera domenicale basato sulla somma dei giorni di slittamento: ogni anno porta con sé lo slittamento di un giorno del ciclo settimanale; un altro giorno lo introduce ogni anno bisestile. In un secolo gregoriano intermedio nel ciclo di 400 anni (ad esempio dal 2001 al 2100), che è composto da 76 anni ordinari e 24 bisestili, ci sono quindi 124 giorni di slittamento.

In base a queste considerazioni, si può sviluppare il semplice algoritmo che segue. Dato un certo anno A (ad esempio 2007), e indicati con S e NS rispettivamente la sua parte secolare (20, nel nostro esempio) e la sua parte non secolare (7, nel nostro esempio), la lettera domenicale valevole per l’anno in questione si ricava nel modo che segue (dove int[…] indica la parte intera inferiore):

1. a = 2 * mod₄[S]
2. b = NS + int[NS / 4]
3. c = 7 – mod₇[b]
4. L = mod₇[a + c] + 1

La variabile a dà gli slittamenti generati dai secoli intermedi (vale 0 quando il secolo è divisibile per 400); il fattore 2 si giustifica perché: 7 – mod₇[124] = 2. La variabile c è il valore degli slittamenti generati dagli anni residui, come somma dei giorni introdotti da ogni anno e dei giorni introdotti dagli anni bisestili (l’operazione di complemento a 7 è necessaria, come per la variabile a, perché le lettere domenicali sono segnate ‘in avanti’ sul calendario). Il valore L così calcolato è ovviamente un numero compreso tra 1 e 7, che corrisponde rispettivamente alle lettere da A (L=1) a G (L=7). Nel caso di anni bisestili, come si desume dal passo 2 (che include lo slittamento dell’anno bisestile presente), questo algoritmo calcola la lettera domenicale per i mesi da marzo a dicembre (quella utile ai fini del calcolo della Pasqua): la lettera domenicale valida per gennaio e febbraio è quella che immediatamente la precede in ordine alfabetico crescente (ricordando che la lettera che precede la A è la G).

Ad esempio, si ritrova che la lettera domenicale del 1990 è stata la G, Poiché a = 6, b = 112, c = 7 e L = 7; che la lettera domenicale del 1998 è stata la D, poiché a = 6, b = 122, c = 4 e L = 4; infine, il calcolo per il 2004 dà a = 0, b = 5, c = 2 e L = 3 e quindi la coppia di lettere domenicali si ritrova essere DC.