La luna ecclesiastica

Il moto della Luna è soggetto a significativi fenomeni di disturbo che alterano in modo più o meno sensibile la regolarità dell’orbita lunare e quindi delle fasi lunari, le quali possono perciò presentarsi con uno sfasamento apprezzabile rispetto ai valori medi. Soltanto l’avanzamento della scienza astronomica e i moderni mezzi di elaborazione automatica permettono di svolgere con sufficiente precisione e in tempi ragionevoli i calcoli necessari a stabilire con esattezza le effemeridi lunari. Tuttavia i valori medi, determinabili attraverso l’osservazione diretta, sono stabili, tanto che è possibile predire con relativa facilità le fasi lunari anche a molti anni di distanza dal presente, al solo prezzo di un errore, derivante dalle irregolarità cui si è fatto cenno, che ordinariamente va da alcune ore a un giorno e quasi mai eccede i due giorni. Di ciò era consapevole già l’antica sapienza astronomica mediorientale e poi ellenistica, le cui conoscenze si tradussero in modelli previsionali che, con l’approssimazione indicata, sono stati usati fino a tempi relativamente recenti. In particolare, il calendario ecclesiastico ha sempre fatto uso e continua a fare uso di regole saldamente ancorate a quelle antiche tradizioni scientifiche per le proprie esigenze e soprattutto per l’applicazione alla più importante festa della Cristianità, il calcolo della data della Pasqua o computs Paschalis. Per esso è stato sviluppato un metodo che, pur con alcune evoluzioni, è ancora utilizzato ai nostri tempi perché ha il pregio di rendere il calcolo della Pasqua semplice, pratico e soprattutto automatico, e perciò accessibile a tutti. A questo proposito, si usa dire che il calendario ecclesiastico è basato su una luna fittizia detta luna ecclesiastica, che si comporta secondo uno schema predeterminato e fisso, tale da assorbire in sé le irregolarità del moto lunare al prezzo di una eventuale modesta imprecisione. Le regole della luna ecclesiastica si inquadrano nell’assunzione che l’anno civile solare sia giuliano, cioè che abbia 365 giorni negli anni ordinari e segua il principio, la cui individuazione si perde nella notte dei tempi caldei, di intercalare un giorno aggiuntivo ogni quattro anni ordinari per mantenere l’allineamento dell’anno civile al ciclo delle stagioni. Nello schema della luna ecclesiastica tutte le fasi lunari hanno durate fisse e si definiscono in base al concetto di età della Luna. Lo stesso concetto è necessario per introdurre le ulteriori nozioni della luna ecclesiastica legate all’uso del ciclo di Metone.

L’età della luna

Si definisce età della Luna il numero di giorni trascorsi ad oggi dall’ultimo novilunio, estremi inclusi. Poiché la lunazione dura 29 giorni e mezzo o poco più (per i calcoli di questo articolo useremo il valore approssimato 29,5306 giorni), l’età della Luna è un numero compreso tra 1 e 30; numeri superiori vanno considerati ‘modulo 30’. Se ad esempio il novilunio cadesse il 19 giugno, l’età della Luna al 19 giugno sarebbe 1, al 20 giugno sarebbe 2, e così via. Pertanto, indicando genericamente l’età della Luna con L, nei giorni in cui si compiono le fasi lunari essa vale:
  1. L = 1 al novilunio;
  2. L = 7 al primo quarto;
  3. L = 14 al plenilunio;
  4. L = 22 all’ultimo quarto.
Secondo il prevalente uso antico, il novilunio ecclesiastico corrisponde al momento in cui compare la prima falce di Luna, cioè quando la Luna torna visibile dopo aver rivolto alla Terra la faccia non illuminata e quindi dopo il novilunio astronomico (che sappiamo avvenire nella Luna astronomica alla congiunzione tra Terra e Sole, cioè quando la Luna si trova tra la Terra e il Sole ed è quindi non illuminata). Il novilunio ecclesiastico avviene in media 40 ore dopo l’istante della congiunzione, di conseguenza una luna di 29 o 30 giorni (L = 29 o 30) normalmente non è visibile in cielo. Nel nostro esempio di novilunio al 19 giugno, il primo quarto cadrebbe il 25 giugno, il plenilunio il 2 luglio, l’ultimo quarto il 10 luglio. La durata delle singola lunazione ecclesiastica si considera di 30 giorni, pertanto l’ultimo giorno della lunazione cadrebbe il 18 luglio e il novilunio successivo sarebbe predetto al 19 luglio. Per definizione, la luna ecclesiastica si ripete sempre uguale a se stessa: è quindi sufficiente conoscere l’età della Luna in un qualsiasi giorno dell’anno per risalire all’età della Luna e quindi alle fasi lunari di ogni altro giorno dell’anno. Questo è del resto lo scopo delle approssimazioni della luna ecclesiastica: calcolare le fasi lunari con poche e facili operazioni senza effemeridi, in modo stabile su periodi di tempo sufficientemente lunghi, al prezzo di un possibile errore usualmente di 1 o due 2 giorni. Si è detto che la singola lunazione è approssimata con 30 giorni, con una differenza rispetto alla lunazione astronomica pari a poco meno di 12 ore. Coerentemente, quando si ha a che fare con lunghi periodi in giorni (avremo un esempio più avanti parlando del ciclo metonico) le lunazioni intere si cancellano eseguendo il ‘modulo 30’ del dato numero di giorni; in tal caso, però, occorre prestare attenzione al fatto che si cumula una differenza di quasi metà giorno per ogni lunazione. Tuttavia, la luna ecclesiastica è più precisa quando si definisce l’anno lunare. In tal caso i mesi lunari hanno durata fissa e pari alternativamente a 30 e 29 giorni (sono detti rispettivamente mesi pieni e mesi cavi), cosicché un anno lunare, che comprende 12 lunazioni, è pari a 29 * 6 + 30 * 6 = 354 giorni. La differenza di un anno lunare ecclesiastico con l’anno lunare astronomico e poco più di un terzo di giorno (più esattamente 12 * 29,5306 – 354 = 0,3672 giorni). Per l’assunzione di anno civile giuliano, infine, nella luna ecclesiastica la somma dei giorni di gennaio e febbraio eguaglia due lunazioni sia negli anni ordinari (quando i due mesi civili assommano a 59 giorni) che negli anni bisestili (quando i giorni complessivi sono 60); pertanto, da marzo in poi, l’età della Luna al 31 dicembre dell’anno precedente eguaglia sempre l’età della Luna all’ultimo giorno di febbraio. Allo stesso modo, la differenza tra l’anno lunare ecclesiastico e l’anno solare (giuliano) è sempre di 365 – 354 = 11 giorni, sia negli anni ordinari che bisestili. Questa regola, assai importante nel calcolo della Pasqua che dipende proprio dalla posizione della terza lunazione dell’anno, si può spiegare in prima approssimazione osservando che la luna ecclesiastica trascura l’eccesso di oltre un terzo di giorno tra anni lunari astronomico ed ecclesiastico, il che conduce all’anticipo di un giorno ogni 3-4 anni delle fasi lunari ecclesiastiche rispetto alla realtà. Il giorno bisestile, distribuito ogni quattro anni, contribuisce a mantenere l’allineamento delle fasi lunari, purché sia trascurato (!). Su questo argomento torneremo nel seguito con calcoli più precisi, per illustrare il legame profondo che intercorre tra la regola bisestile e il ciclo metonico. Ma per poter parlare del ciclo metonico nello schema ecclesiastico, dobbiamo prima approfondire il concetto di età della Luna riferita ad un particolare giorno dell’anno.

L’epatta

Si definisce epatta il numero di giorni trascorsi dall’ultimo novilunio fino ad un certo giorno dell’anno preso come riferimento (estremi inclusi), ovvero l’età della luna a quel determinato giorno. Quale giorno di riferimento, la cosiddetta sedes epactarum, solitamente si assume il 31 dicembre: in tal caso, l’epatta rappresenta il numero di giorni della lunazione che devono essere importati dall’anno precedente per poter correttamente valutare le fasi lunari del nuovo anno. In passato, prima della riforma gregoriana, l’epatta era invece calcolata al 22 marzo, un dato che serviva al solo calcolo della Pasqua. Qualche esempio chiarirà rapidamente il significato e il modo di calcolare l’epatta. Se l’ultimo novilunio dell’anno cadesse il 31 dicembre, l’epatta varrebbe 1, poiché un solo giorno manca alla fine dell’anno; analogamente dal novilunio del 30 dicembre alla fine d’anno mancherebbero 2 giorni e tale sarebbe l’epatta; e così via. Se infine il novilunio cadesse il 2 dicembre, il successivo novilunio cadrebbe il 1 gennaio: il 31 dicembre si compirebbe la lunazione, l’età della Luna sarebbe pari a 30, ma, non essendoci giorni da importare nel nuovo anno, l’epatta si considera nulla (Dionigi il Piccolo la indicava con la parola latina NULLA, più recentemente si indica con una stella “*”). L’epatta, come ogni età della Luna, non può superare i 30 giorni: quando essa raggiunge o supera i 30 giorni, gli si devono sottrarre le lunazioni intere eseguendo l’operazione di ‘modulo 30’. Questa operazione di sottrazione di 30 unità dall’età della Luna o dall’epatta è una fonte di approssimazione nello schema della luna ecclesiastica: per ogni lunazione sottratta, infatti, si introduce un errore di quasi metà giorno, esattamente 1 – 0,5306 = 0,4694 giorni. Se il primo novilunio cade il 1 gennaio (quindi l’epatta è nulla), poiché la differenza tra i 354 giorni circa dell’anno lunare e i 365 giorni circa dell’anno solare è di 11 giorni, l’epatta dell’anno successivo è proprio pari a 11. L’ultimo novilunio dell’anno cade infatti il 21 dicembre e il successivo novilunio cade il 20 gennaio. Non è difficile convincersi che in generale l’epatta di un certo anno si ricava da quella dell’anno precedente sommando 11 ed eseguendo, quando necessario, la sottrazione di 30 unità. L’epatta è strettamente legata al ciclo metonico: essa infatti permette di automatizzare i calcoli previsionali delle fasi lunari tra un anno e l’altro del ciclo e tra un ciclo e l’altro. In tale contesto le regole ecclesiastiche prevedono una notevole eccezione: che l’epatta, che ordinariamente aumenta di 11 unità da un anno all’altro, deve aumentare di 12 unità quando si passa da un ciclo di Metone al successivo. Questo dipende dall’adattamento del ciclo metonico allo schema ecclesiastico, come andiamo a spiegare.

La luna ecclesiastica e il ciclo metonico

L’ateniese Metone, vissuto nella seconda metà del V secolo a.C., è il primo astronomo conosciuto ad aver scritto che 19 anni solari sono quasi uguali a 235 lunazioni, benché la cosa dovesse essere già nota da tempo alla scienza mediorientale. In effetti 19 * 365,2422 = 6939,6018 e 235* 29,5306 = 6939,6910 con uno scarto tra i due periodi di poco più di due ore. Posto che il calendario civile sia solare, ne consegue che le fasi lunari si ripetono negli stessi giorni del ciclo di 19 anni solari. Basta identificare l’anno nel ciclo per identificare potenzialmente tutte le fasi lunari dell’anno. l’identificazione avviene con un semplice indice da 1 a 19 detto numero d’oro. Il ciclo metonico aggiunge alla luna ecclesiastica una ripetitività che rende possibile raccogliere in tavole le fasi lunari: bastano 19 righe, una per numero d’oro. Per questo esso è stato largamente usato nella pratica ecclesiastica in abbinamento all’esistente calendario giuliano. Il calendario giuliano è infatti un calendario solare sufficientemente accurato per bene integrarsi con il ciclo metonico come si evince da queste considerazioni:
  • quando nei 19 anni capitano 5 anni bisestili (ciò accade quando è bisestile il primo, oppure il secondo, oppure il terzo anno del ciclo) il totale dei giorni è 365 * 14 + 366 * 5 = 6940;
  • quando nei 19 anni capitano 4 bisestili (il che accade solo quando è bisestile il quarto anno del ciclo) il totale dei giorni è 6939;
  • pertanto la durata media (su quattro cicli decennovennali) è di 6939,75 giorni, con uno scarto di circa un’ora e mezza in più rispetto a 235 lunazioni.
Ai fini della previsione del plenilunio pasquale è comodo individuare l’epatta associata a ogni numero d’oro (la ragione di questa comodità la lasciamo ad altro articolo sul calcolo della Pasqua giuliana). Secondo le regole della luna ecclesiastica ogni anno solare ordinario o bisestile contribuisce ad accrescere l’epatta di 11 giorni, tranne quando il numero d’oro è 19, nel qual caso l’epatta aumenta di 12. In modo superficiale, rimanendo nei limiti della luna ecclesiastica, ciò si spiega osservando che dopo aver sottratto gli anni lunari dagli anni solari (e quindi 12 * 19 intere lunazioni) i giorni residui sono 6940 – 354 * 14 – 355 * 5 = 209, e poiché il resto di 209 / 30 è 29, il successivo ciclo metonico non avrebbe le stesse fasi lunari del precedente contro la sua stessa esistenza. Il dodicesimo giorno viene aggiunto all’ultima epatta proprio per ottenere resto nullo e aggiustare la luna ecclesiastica alla realtà astronomica. Ma queste regole della luna ecclesiastica hanno una spiegazione più profonda. Come sappiamo, la luna ecclesiastica trascura l’eccesso di oltre un terzo di giorno tra anni lunari astronomico ed ecclesiastico, il che conduce ad un errore pari a 0,3672 * 19 ≅ 7 giorni in meno. Già abbiamo visto con una osservazione qualitativa che l’aggiunta dei 5 giorni bisestili corregge la massima parte di questo errore nell’arco dei 19 anni, per di più mantenendo limitato l’errore anno per anno poiché la periodicità dell’aggiunta bisestile è simile a quella con cui si cumula un giorno d’errore. Ora aggiungiamo che c’è un altro addendo da computare: quando si sotraggono le lunazioni intere dai 209 giorni eseguendo il ‘modulo 30’ si commette infatti un errore di 0,4694 giorni per lunazione, che nel caso di specie si cumula fino a 0,4694 * 6 ≅ 3 giorni. Poiché in totale si ha 5 + 3 – 7 = 1 giorno in eccesso, ne consegue che la luna ecclesiastica, pur non introducendo, per i soli fenomeni ora discussi, un errore superiore ad un giorno anno su anno, finisce col ritrovarsi con l’errore sistematico di un giorno in eccesso all’ultima lunazione del ciclo metonico. Un giorno in eccesso significa che il primo novilunio del nuovo ciclo metonico sarebbe predetto un giorno in ritardo, se non fosse introdotto un correttivo. Il correttivo è il dodicesimo giorno dell’ultima epatta, che, aggiunto d’ufficio, ha appunto l’effetto di incrementare fittiziamente l’età della Luna e quindi di anticipare la predizione del successivo novilunio. Calcolate con le regole della luna ecclesiastica, le 19 epatte, ciascuna associata a un numero d’oro, consentono di prevedere le fasi lunari, e in particolare il plenilunio pasquale, per anni e decenni a venire. Nel calendario giuliano la pratica ecclesiastica ha sempre assunto perfetta l’approssimazione del ciclo di Metone, perciò le stesse 19 epatte sono immutabili e sono state usate per secoli per il calcolo della Pasqua. Tuttavia, l’approssimazione non è perfetta (1,5 ore ogni 19 anni fanno un giorno ogni tre secoli) e col passare dei secoli è emersa la crescente discrepanza con la realtà. Per questo nel 1582 Papa Gregorio XIII riformò le regole di calcolo della Pasqua aderendo alla proposta di un astronomo calabrese, Luigi Lilio. Nelle riforma furono stabiliti dei correttivi secolari al calcolo delle epatte, la cui validità non fu più eterna ma limitata ad un secolo, periodo nel quale l’approssimazione del ciclo metonico tiene; ogni secolo le epatte devono essere ricalcolate per mantenerle più strettamente aderenti alla realtà astronomica, ottenendo pertanto oggni volta una diversa lista di 19 epatte distinte.

Il regolare lunare

Per definizione l’epatta permette di calcolare, nell’ipotesi di luna ecclesiastica, l’età della Luna in ogni giorno dell’anno. Il calcolo dell’età della luna per uno specifico giorno dell’anno può essere eseguito direttamente, sommando i giorni necessari e riportandosi ai mesi. Ma può essere facilmente automatizzato utilizzando un addendo correttivo, il cosiddetto regolare lunare, con l’algoritmo che segue:
  1. prima di tutto occore sommare all’epatta un numero, detto regolare lunare, specifico del mese dell’anno, tratto dalle seguenti tabelle rispettivamente per gli anni normali e bisestili (dove nella seconda riga si è aggiunto semplicemente 1 al regolare lunare dei mesi da marzo a dicembre per tenere in conto il giorno bisestile):
Tabella dei regolari lunari
Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno Luglio Agosto Settembre Ottobre Novembre Dicembre
anno ordinario 0 1 0 1 2 3 4 5 7 7 9 9
anno bisestile 0 1 1 2 3 4 5 6 8 8 10 10
 
  1. al numero così ottenuto deve essere sommato il giorno del mese per il quale si vuole conoscere l’età della luna;
  2. il numero ottenuto è l’età della luna cercata (se il numero ottenuto è maggiore di 30, occorre prima sottrarre 30).
Poiché, infatti, ogni mese corrisponde in modo approssimativo a una lunazione, invece di sommare all’epatta tutti i giorni dell’anno fino al giorno in esame per poi sottrarre la somma delle lunazioni, è sufficiente sommare all’epatta il regolare lunare, che assorbe in sé tutte le differenze tra mesi trascorsi e lunazioni avvenute; a questa somma va aggiunto ovviamente il numero di giorni trascorsi nel mese cui appartiene il giorno in esame (modulo 30). In altre parole, detti E l’epatta, G il giorno del mese, e R il regolare lunare, l’età della Luna, che abbiamo indicato con L, è data dalla formula:

L = mod30[E + R + G]

In particolare, è possibile specializzare l’equazione precedente per i giorni delle fasi lunari, che non sono altro che alcune specifiche età della Luna. Per ricavare la relazione tra epatta e fasi lunari (ecclesiastiche) di tutto l’anno, è sufficiente sostituire al posto dell’età della Luna il valore che essa assume nei giorni in esame e invertire la formula sopra scritta. Ad esempio, per quanto riguarda il novilunio, poiché per definizione l’età della Luna al novilunio è pari a 1, nei giorni G precedenti il novilunio deve essere:

L = mod30[E + R + G] = 0

cioè i giorni per i quali la somma del numero G del giorno stesso, dell’epatta E e del regolare lunare R è multipla di 30 precedono il novilunio. Conoscendo il novilunio, si conoscono automaticamente le date di tutte le successive fasi lunari: il primo quarto cade 6 giorni dopo il novilunio, il plenilunio 13 giorni dopo il novilunio e l’ultimo quarto 21 giorni dopo il novilunio.