L’epatta

Il computus, l’età della Luna e l’epatta

Per calcolare la Pasqua bisogna conoscere la data del primo plenilunio incidente nel o successivo al 21 marzo. Lo schema offerto dalla luna ecclesiastica permette di conoscere la fasi lunari dell’anno a partire dall’età in qualsiasi giorno dell’anno. Il ciclo di Metone, che nasce dalla constatazione che 19 anni solari sono quasi uguali a 235 lunazioni, permette di stabilire, con buona approssimazione, come si ripetono le fasi lunari sui 19 anni del ciclo. Tutto questo permette di tabulare la data del plenilunio pasquale per gli anni a venire, in modo automatico, per cicli di 19 anni, a partire da un valore conosciuto. L’idea era già nota nell’antichità e costituisce la base astronomica delle cosiddette regole alessandrine per il calcolo della Pasqua utilizzate da Dionigi il Piccolo e da schiere di suoi predecessori e successori. Tuttavia essi erano a conoscenza di un metodo alternativo a quello del ciclo metonico, seppure con esso armonizzato e nei fatti ad esso strettamente legato, noto come metodo dell’epatta. L’epatta indica il numero di giorni trascorsi dall’ultimo novilunio fino al giorno dell’anno preso come riferimento, ovvero l’età della Luna a quel giorno (questa data era detta sedes epactarum). La parola epatta deriva dal greco epaktòs ‘condotto da fuori, importato’: in latino l’epatta è indicata come adiectiones (annuae) lunares o adiectiones lunae, cioè ‘giorni aggiunti alla lunazione’, oppure come epactae (dies) equivalente di epaktaì hemèrai ‘giorni importati’. Conformemente all’origine etimologica, se come giorno di riferimento si prende il 31 dicembre di un certo anno, l’epatta rappresenta il numero di giorni che devono essere importati dall’anno precedente per poter correttamente calcolare le fasi lunari del nuovo anno. Nel rimandare per i dettagli al nostro articolo sull’età della Luna, chiariamo qui il significato e il calcolo dell’epatta con qualche esempio. Se il primo novilunio dell’anno cadesse il 1 gennaio, l’età della Luna al 31 dicembre dell’anno precedente sarebbe pari a 30 giorni; in questo caso l’epatta si considera nulla per comodità di calcolo, come sarà evidente nel seguito. L’ultimo novilunio di quell’anno cadrà, nell’approssimazione ecclesiastica, 354 giorni dopo, cioè il 21 dicembre: poichè i giorni dal 21 al 31 dicembre sono 11 (estremi inclusi, secondo la convenzione antica), tale sarà l’epatta dell’anno successivo. Non è difficile convincersi che in generale l’epatta di un anno si può calcolare aggiungendo 11 all’epatta dell’anno precedente. Poiché le lunazioni intere non rilevano, se la somma supera 30, l’epatta sarà pari alla somma meno 30: ecco perché l’epatta 30 si considera nulla. Essendo l’epatta pari a 11, la lunazione sarà completata il 19 gennaio e il primo novilunio dell’anno sarà il 20 gennaio. Se l’ultimo novilunio dell’anno cadesse il 31 dicembre, l’epatta varrebbe 1, poiché un solo giorno manca alla fine dell’anno; analogamente dal novilunio del 30 dicembre alla fine d’anno mancherebbero 2 giorni e tale sarebbe l’epatta; e così via. Se infine il novilunio cadesse il 2 dicembre, il successivo novilunio cadrebbe il 1 gennaio: il 31 dicembre si compirebbe la lunazione, l’età della Luna sarebbe pari a 30, ma, non essendoci giorni da importare nel nuovo anno, l’epatta sarebbe nulla. Finora abbiamo indicato le epatte in numeri arabi per impiegarla comodamente all’interno del moderno formalismo matematico. Tuttavia l’uso ecclesiastico vuole che l’epatta, e più in generale l’età della luna, sia indicata in numeri romani (e in rosso). Pertanto nel seguito, al di fuori delle formule matematiche, scriveremo le epatte con i numeri romani tra I e XXX, specificando che per marcare l’epatta nulla, corrispondente come anzi detto al valore di età XXX, l’uso ecclesiasico moderno preferisce indicarla con una stella * (oppure, quando più raramente si indica l’epatta in numeri arabi, con 0); Dionigi il Piccolo, che non aveva il concetto di zero, la indicava con la parola NULLA.

Il calcolo dell’epatta nel calendario giuliano

Nel calendario giuliano l’epatta era sempre definita come età della Luna, ma riferita non al 31 dicembre bensì al 22 marzo: il fatto non comporta alcuna differenza concettuale né di metodo (l’epatta al 31 dicembre è superiore di 8 unità all’epatta al 22 marzo, come si verifica facilmente) e il 22 marzo fu scelto perché la Pasqua non poteva cadere prima di questa data. L’epatta giuliana si calcola facilmente perché per definizione gli anni con numero d’oro uguale a 1 hanno epatta nulla, qualora si ricordi che la differenza tra anno lunare e anno giuliano, ai fini ecclesiastici, è di 11 giorni (lo stesso valore si considera sia negli anni ordinari che negli anni bisestili, per ragioni che saranno spiegate tra breve). Si ottiene quindi la formula che segue (ove si è indicato con EG l’epatta pasquale giuliana e con N il numero d’oro; ovviamente il risultato deve essere ‘modulo 30’):

EG = mod30[11 * (N – 1)]

La tradizione ecclesiastica ha tuttavia introdotto una eccezione, motivata da ragioni pratiche. Infatti da un lato 11 * 19 = 209, dall’altro si ha 209 = 30 * 6 + 29, cioè sei lunazioni intere più 29 giorni soltanto, il che porterebbe a non avere epatta nulla all’inizio di ogni nuovo ciclo decennovennale in contraddizione con l’ipotesi del ciclo metonico. Invece, poiché 210 = 7 * 30, basta aggiungere un giorno ai 209 per ottenere sette lunazioni intere e quindi annullare lo sfasamento delle epatte da un ciclo metonico al successivo. Per questo l’epatta si fa aumentare non di 11 ma di 12 unità (il cosiddetto saltus lunae) una sola volta nel ciclo di 19 anni, precisamente negli anni con numero d’oro pari a 1 rispetto all’anno precedente (che ha numero d’oro pari a 19). In questo modo gli anni con lo stesso numero d’oro vedono ripetersi le fasi lunari negli stessi giorni dell’anno: per essi l’epatta è sempre la stessa ed è di norma riportata nella tabella che dà il termine pasquale in funzione del numero d’oro (vedi infra). Peraltro, il saltus lunae ha ragioni profonde che conviene indagare prima di proseguire. Il lettore esperto del ciclo di Metone potrebbe infatti eccepire che, aggiungendo 210 giorni invece di 209, si altera la durata complessiva del ciclo, che diviene 354 * 14 + 355 * 5 + 210 = 6941 giorni, mentre il ciclo metonico deve comprendere non più di 235 * 29,5306 ≅ 6940 giorni. La spiegazione risiede nel fatto che l’aggiunta di un giorno è apparente: in generale, aggiungere 11 oppure 12 giorni all’epatta dell’anno precedente non allunga il computo metrico dei giorni, sposta soltanto la predizione del novilunio (aggiungere un giorno all’epatta significa anticipare l’occorrenza del novilunio di un giorno). Il saltus lunae è necessario perché, nel corso dei 19 anni, i noviluni ecclesiastici perdono un giorno su quelli reali, cioè alla fine dei 19 anni cadono un giorno dopo di quelli reali. Infatti, da un lato la durata effettiva dell’anno lunare è prossima a 29,5306 * 12 = 354,3672, il che significa che l’anno lunare ecclesiastico tende ad anticipare il novilunio di circa 0,3672 * 19 ≅ 7 giorni; dall’altro la regola bisestile giuliana aggiunge 5 giorni, cui si deve cumulare l’eccesso delle sei lunazioni di 30 giorni pari a (30 – 29,5306) * 6 ≅ 3 giorni, per un totale di 8 giorni di ritardo. L’effetto netto è appunto il ritardo di un giorno della predizione ecclesiastica rispetto alla situazione reale. Nell’approssimazione ecclesiastica i vari fenomeni sono concorrenti e si compensano approssimativamente con lo scorrere degli anni. In questa giostra di bilanciamenti gioca un ruolo essenziale il giorno bisestile: introdotto per tutt’altre e ben note ragioni, il bisestile contribuisce ad adattare il ciclo solare giuliano al ciclo metonico, purché all’atto pratico sia ignorato. Ecco perché gli anni bisestili non sono diversi ai fini ecclesiastici da quelli ordinari: come gennaio e febbraio assieme fanno due lunazioni intere negli anni ordinari (infatti 31 + 28 = 59 = 29,5 * 2), così le devono fare anche negli anni bisestili, nonostante i giorni salgano a 60, poiché il giorno aggiuntivo compensa altri fenomeni. Questa è la ragione per la quale la luna ecclesiastica non considera mai l’anno bisestile come una eccezione. Di seguito riportiamo la tabella delle epatte del calendario giuliano. Si ricorda che, secondo il computo di Dionigi il Piccolo, l’anno 1 a.C. ebbe numero d’oro pari a 1, quindi N si ottiene come resto della divisione per 19 dell’anno considerato più 1.
Numero d’oro (N)  Epatta (EG) al 22/3 Epatta (EG) al 31/12
1 NULLA VIII
2 XI XIX
3 XXII *
4 III XI
5 XIV XXII
6 XXV III
7 VI XIV
8 XVII XXV
9 XXVIII VI
10 IX XVII
11 XX XXVIII
12 I IX
13 XII XX
14 XXIII I
15 IV XII
16 XV XXIII
17 XXVI IV
18 VII XV
19 XVIII XXVI
Come abbiamo già evidenziato, le epatte si ripetono ciclicamente con la periodicità del ciclo di Metone. Ne consegue che non tutti e 30 i valori dell’epatta si possono presentare, ma soltanto i 19 valori sopra elencati, tutti diversi. Noto il numero d’oro, è automaticamente nota l’epatta nonché il plenilunio pasquale; per questo motivo la Pasqua giuliana era usualmente calcolata a partire dal numero d’oro. Tuttavia, poiché le epatte sono tutte diverse, la conoscenza dell’epatta consente egualmente di derivare il plenilunio pasquale. La precisione raggiungibile con il ciclo metonico usualmente si considera buona entro il secolo, e così fece Lilio quando elaborò le regole gregoriane. In realtà, il metodo dell’epatta, pur conosciuto, non è stato comunemente impiegato durante la vigenza del calendario giuliano. Invece, esso è stato generalizzato da lilio assieme al calendario gregoriano. Tuttavia, l’epatta del calendario gregoriano è più precisa di quella del calendario giuliano ed è calcolata a partire da questa con l’aggiunta di fattori correttivi. Nell’ambito di un secolo si usa una tabella delle epatte analoga a quella giuliana, formata da 19 epatte distinte, una per numero d’oro: soltanto, la tabella cambia in generale ogni secolo. L’epatta gregoriana si riferisce a una diversa sedes epactarum, il 31 dicembre; ovviamente anche l’epatta giuliana può essere riferita al 31 dicembre (questa epatta è anch’essa riportata in funzione del numero d’oro nella tabella precedente) e, se così si fa, è possibile calcolare il termine pasquale giuliano col metodo dell’epatta a partire dalla medesima tabella dei termini gregoriani. Questo metodo è oggi preferito per uniformità col calcolo gregoriano, e a questo serve l’ultima colonna della tabella precedente.

Il calcolo dell’epatta nel calendario gregoriano

Nel calendario poi detto gregoriano da lui proposto, Luigi Lilio apportò correzioni sia all’anno civile che al metodo di calcolo della Pasqua con l’obiettivo non di migliorare la precisione del metodo stesso, bensì di assicurarne la validità anche al passare dei secoli. Per questo egli non ripudiò la luna ecclesiastica né il ciclo metonico, che per periodi più brevi di diversi secoli era ed è ritenuto sufficientemente preciso dalla Chiesa. Egli apportò invece correzioni alle epatte. Giunse così a definire un metodo per aggiustare la tabella delle epatte rispetto al numero d’oro in funzione delle variazioni prodotte dalle imprecisioni del ciclo di Metone nei secoli. In altre parole, invece di una tabella valida per ogni secolo, come quella usata da Dionigi il Piccolo, Lilio ha introdotto l’uso di tabelle delle epatte diverse per secoli diversi. Per calcolare le epatte in modo da renderle più aderenti alle effemeridi astronomiche, Lilio, preso come anno base l’anno 551 d.C. poiché egli calcolò che avesse epatta giuliana nulla (e in effetti, cadendo 19 anni dopo quell’anno 532 d.C. cui secondo Dionigi il piccolo l’epatta era nulla, per il puro ciclo metonico doveva avere epatta nulla), apportò tre correzioni:
  1. spostò per comodità il riferimento dell’epatta (la cosiddetta sedes epactarum) dal 22 marzo al 31 dicembre dell’anno precedente, il che comportò l’introduzione di un addendo correttivo fisso all’epatta;
  2. introdusse una equazione lunare per tenere conto dello slittamento delle epatte nei secoli dovuto alla differenza tra il ciclo di 19 anni giuliani e il ciclo metonico di 235 lunazioni;
  3. introdusse una equazione solare per compensare la differenza tra il calendario giuliano e quello gregoriano.
Per prima cosa, Lilio ridefinì l’epatta, relativa ad un certo anno, come l’età della Luna al 31 dicembre dell’anno precedente (il termine epatta acquistò così maggior significato nel senso di giorni importati da un anno all’altro; e per rimarcare che il 31 dicembre è compreso nel calcolo, c’è chi usa definire l’epatta gregoriana come l’età della Luna allo ‘0 gennaio’ o, più imprecisamente, al 1 gennaio). Se ad esempio il novilunio cade il 31 dicembre dell’anno precedente, l’epatta vale 1; vale 2 se il novilunio è al 30 dicembre; e così via. Questo comportò l’introduzione di un addendo compensativo, una sorta di condizione iniziale, che Lilio calcolò essere pari a 8 (poiché l’epatta al 31 dicembre è maggiore di 8 unità rispetto all’epatta al 22 marzo, questo equivale a dire che nel 551 d.C. l’equazione lunare, di cui parleremo tra breve, deve essere nulla: questo è effettivamente il caso, come è evidenziato dalla tabella delle epatte nei secoli riportata infra). Di conseguenza la formula di calcolo dell’epatta divenne:

E = EG + 8 = mod30[11 * (N – 1)] + 8

Poi, Lilio considerò che il ciclo di Metone (pari a 235 lunazioni) è più breve di 19 anni solari giuliani (egli si basava sul calendario giuliano, come del resto ancora oggi fanno gli astronomi) di circa 1 ora e 28 minuti, ovvero di 1,47 ore. In questo caso, perciò, il novilunio cade un giorno prima del giorno atteso ogni (24 / 1,47) * 19 = 310 anni (giuliani) circa e le epatte crescono corrispondentemente di un giorno ogni 310 anni giuliani e di 8 giorni ogni 2500 anni giuliani. Per apportare questa correzione al calcolo dell’epatta, fu stabilito di aggiungere il numero di giorni necessario ogni determinato periodo di anni. L’addendo in questione, funzione dell’anno giuliano, prende il nome di equazione lunare. In particolare, fu deciso di aggiungere un giorno ogni 300 anni a partire dall’anno base 551 d.C. Per tenere conto dei circa 10 anni trascurati nell’operazione precedente, si decise che ogni ottava volta l’aggiunta non sarebbe avvenuta dopo 300, ma dopo 400 anni (l’ottava volta più vicina cade tra l’anno 3900 e l’anno 4300 d.C.), e così via nei millenni a venire. Per ottenere un migliore accordo tra equazione lunare e realtà, si stabilì infine che un intervallo di 400 anni sarebbe stato pure posto dopo l’anno 1400. Per poter determinare l’epatta deve essere ancora indagato un aspetto: i giorni di disaccordo tra calendario giuliano e calendario gregoriano. Questa informazione è essenziale, poiché da un lato il calcolo dell’epatta fu basato sul calendario giuliano, ma dall’altro il calendario in vigore divenne quello gregoriano: perciò i giorni mancanti nel calendario gregoriano rispetto a quello giuliano devono essere portati in conto sottraendoli dall’epatta. Lilio lo fece introducendo la cosiddetta equazione solare. I giorni mancanti cui si fa riferimento sono da un lato i 10 giorni sottratti dalla riforma gregoriana, dall’altro i giorni bisestili nel calendario giuliano e non in quello gregoriano (cioè i giorni degli anni secolari non divisibili per 400). Perché i giorni tolti dalla riforma gregoriana vadano sottratti (e non sommati, ad esempio) risulta evidente quando si consideri la situazione immediatamente dopo la riforma: come il 5 ottobre 1582 giuliano corrisponde al 15 ottobre 1582 gregoriano, così il 24 dicembre 1582 gregoriano, che è il giorno dell’ultimo novilunio dell’anno (poiché l’epatta del 1583 fu 7), corrisponde al 14 dicembre giuliano dello stesso anno (perciò l’epatta giuliana del 1583 fu maggiore dell’epatta gregoriana proprio dei 10 giorni tolti dalla riforma, a meno della correzione apportata dall’equazione lunare). La tabella seguente riassume i valori dell’equazione lunare e dell’equazione solare per gli archi temporali di anni giuliani nei quali tutti i valori sono costanti; nell’ultima colonna la tabella riporta il fattore F = 8 + giorni dell’equazione lunare – giorni dell’equazione solare, che riassume i tre addendi con cui Lilio corresse l’epatta del calendario giuliano:
Anni giuliani Equazione lunare (= EQL) Equazione solare (= EQS) F = 8 + EQL – EQS
551 – 799 0 non applicabile non applicabile
800 – 1099 1 non applicabile non applicabile
1100 – 1399 2 non applicabile non applicabile
1400 – 1582 3 non applicabile non applicabile
1583 – 1699 3 10 1
1700 – 1799 3 11 0
1800 – 1899 4 12 0
1900 – 2099 4 13 -1
2100 – 2199 5 14 -1
2200 – 2299 5 15 -2
2300 – 2399 5 16 -3
2400 – 2499 6 16 -2
2500 – 2599 6 17 -3
2600 – 2699 6 18 -4
2700 – 2899 7 19 -4
2900 – 2999 7 20 -5
3000 – 3099 8 21 -5
3100 – 3299 8 22 -6
3300 – 3399 9 23 -6
3400 – 3499 9 24 -7
3500 – 3599 9 25 -8
3600 – 3699 10 25 -7
3700 – 3799 10 26 -8
3800 – 3899 10 27 -9
3900 – 4099 11 28 -9
4100 – 4199 11 29 -10
4200 – 4299 11 30 -11
4300 – 4499 12 31 -11
4500 – 4599 12 32 -12
4600 – 4699 13 33 -12
(Proseguire oltre, cosa non difficile in modo meccanico sulla base di questa tabella, è però poco utile sia perché ben poco può interessare cosa accadrà nell’anno 4000 o 5000 sia perché periodo 4000-5000 d.C., millennio più millennio meno, anche il calendario gregoriano dovrà subire qualche intervento di manutenzione.) In definitiva, perciò, a partire dall’anno 1583 compreso, l’epatta si calcola con la formula seguente:

E = EG + 8 + EQL – EQS = EG + F

dove con EG si è indicata l’epatta pasquale nel calendario giuliano, 8 è l’epatta attribuita all’anno base (il 551 d.C.), EQL indica il valore dell’equazione lunare per l’anno considerato, EQS sono i giorni tolti con la riforma gregoriana rispetto al calendario giuliano; il fattore F è stato definito in precedenza per comodità come F = 8 + EQL – EQS. Sostituendo l’espressione di EG, la formula dell’epatta si può riscrivere nel modo seguente:

E = mod30[11 * (N – 1)] + 8 + EQL – EQS = mod30[11 * (N – 1)] + F

Per gli anni tra il XX e il XXI secolo (o meglio, tra il 1900 e il 2099 compresi), la formula dell’epatta si specializza in:

E = mod30[11 * (N – 1)] + 8 + 4 – 13 = mod30[11 * (N – 1)] – 1

In realtà, la stessa formula continua a valere anche per il periodo tra il 2100 e il 2199 compresi, Poiché in questo periodo l’equazione lunare aumenta di 1, ma anche i giorni da togliere con la riforma gregoriana aumentano di 1, quindi il fattore F rimane costante. Di seguito la tabella delle epatte del III millennio:
Numero d’oro 1900-2199 2200-2299 2300-2399 2400-2499 2500-2599 2600-2899 2900-3099
 1  XXIX  XXVIII  XXVII  XXVIII  XXVII  XXVI  XXV
 2  X  IX  VIII  IX  VIII  VII  VI
 3  XXI  XX  XIX  XX  XIX  XVIII  XVII
 4  II  I  *  I  *  XXIX  XXVIII
 5  XIII  XII  XI  XII  XI  X  IX
 6  XXIV  XXIII  XXII  XXIII  XXII  XXI  XX
 7  V  IV  III  IV  III  II  I
 8  XVI  XV  XIV  XV  XIV  XIII  XII
 9  XXVII  XXVI  XXV  XXVI  XXV  XXIV  XXIII
 10  VIII  VII  VI  VII  VI  V  IV
 11  XIX  XVIII  XVII  XVIII  XVII  XVI  XV
 12  *  XXIX  XXVIII  XXIX  XXVIII  XXVII  XXVI
 13  XI  X  IX  X  IX  VIII  VII
 14  XXII  XXI  XX  XXI  XX  XIX  XVIII
 15  III  II  I  II  I  *  XXIX
 16  XIV  XIII  XII  XIII  XII  XI  X
 17  25  XXIV  XXIII  XXIV  XXIII  XXII  XXI
 18  VI  V  IV  V  IV  III  II
 19  XVII  XVI  XV  XVI  XV  XIV  XIII
Ad esempio, l’epatta per il 1990 (che ha numero d’oro pari a 15) si ritrova essere: mod30[11 * 14] – 1 = 3 (quindi il novilunio del 1989 cadde il 29 dicembre). Analogamente, per il 1998 l’epatta vale 2, per il 2004 vale 8 e per il 2005 vale 19.