Il calendario gregoriano perpetuo

Per il calcolo della Pasqua gregoriana secondo le norme di Luigi Lilio è sufficiente conoscere l’epatta dell’anno, cioè il numero di giorni trascorsi dalla data dell’ultimo novilunio fino al 31 dicembre dell’anno precedente, e la lettera domenicale, cioè quando cade la prima domenica dell’anno.

A partire dall’epatta si possono calcolare i noviluni di tutto l’anno sommando intere lunazioni, ciascuna pari a 29 giorni e mezzo ovvero alternativamente a 30 e 29 giorni. I pur semplici calcoli necessari possono essere eliminati con un metodo analogo a quello utilizzato ad esempio per la lettera domenicale. Basta realizzare uno specchietto nel quale ad ogni giorno dell’anno, cominciando dal 1° gennaio con epatta nulla, si fa corrispondere il numero di giorni dal successivo novilunio. I noviluni di un certo anno cadranno nei giorni contrassegnati nello specchietto dall’epatta dell’anno.

Il calendarium o calendario gregoriano perpetuo

Nel calendario gregoriano, come metodo pratico, si scrivono le epatte decrescenti accanto a ogni giorno dell’anno in una sorta di calendario perpetuo (il simbolo * accanto al 1 gennaio, poi XXIX al 2 gennaio, XXVIII al 3 gennaio, XXVII al 4 gennaio, etc.; le lunazioni sono alternativamente di 30 e 29 giorni, nelle sole lunazioni di 29 giorni si associano allo stesso giorno dell’anno le epatte XXV e XXIV, con la sola eccezione degli ultimi 11 giorni, nei quali le epatte XXV e XXIV sono separate e associate rispettivamente al 26 e 27 dicembre), poiché in questo modo tutti i giorni con epatta uguale a quella dell’anno sono giorni di novilunio: in particolare all’epatta nulla corrisponde il novilunio del 1 gennaio, all’epatta I il novilunio del 30 gennaio, all’epatta II il 29 gennaio, e così via, coerentemente con quanto sopra descritto. Il calendario perpetuo (noto anche come calendarium) ora descritto è riportato nella tavola seguente.

Il calendarium presenta una serie di particolarità meritevoli di spiegazione, non sempre immediata.

La ragione per la quale Lilio accorpò proprio le epatte XXIV e XXV, e non altre, non è nota, poiché il suo lavoro originale non è giunto fino a noi, tuttavia esiste una spiegazione obbligata. Le regole alessandrine, fissate a Nicea, secondo Dionigi il Piccolo stabilivano inequivocabilmente che il novilunio pasquale potesse variare dall’8 marzo al 5 aprile compresi e perciò il plenilunio pasquale (13 giorni dopo) dal 21 marzo al 18 aprile compresi (Pasqua dal 22 marzo al 25 aprile), cioè per un periodo di 29 giorni e non di più (probabilmente perché tale è la durata della lunazione di aprile, mese cavo). Di conseguenza (e ricordando che l’accorpamento di due epatte è comunque richiesto dalle lunazioni di 29 giorni come quella di febbraio), gli anni con epatta XXIV avrebbero il novilunio il 7 marzo, troppo presto, oppure il 6 aprile, troppo tardi; questo suggerisce di anticipare proprio l’epatta XXIV. Il problema non si pone nel calcolo della Pasqua giuliana, perché l’epatta XXIV non era nel novero delle 19 epatte possibili, mentre è introdotto dalle regole gregoriane: di qui la necessità di trovare un aggiustamento che rispettasse la tradizione e con essa il primo dei requisiti che il nuovo sistema di calcolo doveva soddisfare.

L’accorpamento delle epatte rende poi necessario prevedere un trattamento speciale per l’epatta XXV, come andiamo a spiegare. Nella tabella, oltre alle normali epatte in numeri romani, si nota una epatta 25 in numeri arabi (detta anche epatta 25 nera, perché, come si è detto, di solito le altre epatte sono segnate in rosso). L’epatta 25 è associata all’epatta XXV nelle lunazioni di 30 giorni e ell’epatta XXVI nelle lunazioni di 29 giorni. La regola pratica ad essa legata è che negli anni con epatta di 25 unità e numero d’oro maggiore di 11, le date del novilunio sono quelle con epatta 25 e non XXV (che è la stessa nei mesi pieni e quella dell’epatta XXVI nei mesi cavi).

La ragione, apparentemente incomprensibile, di ciò è che, poiché nei mesi cavi abbiamo posto nello stesso giorno le epatte XXIV e XXV, se nel ciclo di Metone capitassero entrambe, in questi anni nei mesi cavi si avrebbero le stesse date di novilunio: ora, ciò è impossibile perché all’interno del ciclo di Metone le date della luna per definizione non possono mai ripetersi. Ma si può verificare che in un ciclo di Metone due diversi anni abbiano l’uno epatta XXIV e l’altro epatta XXV? Sì, anzi più in generale gli anni il cui numero d’oro è separato da 11 unità (ad esempio l’1 e il 12, il 2 e il 13, etc.) hanno epatta che differisce di 1 unità; quindi se un anno con numero d’oro maggiore di 11 ha epatta XXV, ci sarà certamente un anno con epatta XXIV nello stesso ciclo e precisamente l’anno con numero d’oro minore di 11 unità del precedente (nel periodo 1900-2199 capita con i numeri d’oro 6 e 17; la cosa non ricapiterà fino al XXXII secolo della nostra era con i numeri d’oro 1 e 12). La regola su esposta evita quindi il problema di ripetizione delle date nei mesi cavi di due anni dello stesso ciclo metoniano, impossibile per la luna reale. Il fatto poi di usare l’epatta XXVI non sposta il problema su un altro anno, come si potrebbe sospettare a prima vista, perché, avendo l’anno con epatta XXV numero d’oro maggiore di 11, l’anno con epatta XXVI non può far parte dello stesso ciclo di Metone, perché, avendo epatta maggiore di 1 unità, dovrebbe avere numero d’oro maggiore di 11 unità del precedente, che a sua volta ha già numero d’oro maggiore di 11 unità del precedente, quindi dovrebbe avere almeno numero d’oro 23, ben oltre il massimo valore del numero d’oro che è 19.

Proprio alla prima applicazione del calendario gregoriano e del metodo dell’epatta, nel priodo 1583-1699, è stato necessario introdurre una ulteriore epatta nera in numeri arabi, l’epatta 19. Essa serve nel caso degli anni con numero d’oro 19 ed epatta XIX, come accadde nel ciclo delle epatte di quel periodo. Gli anni con epatta XIX completano infatti l’ultima lunazione al 31 dicembre, quando si tratta di una lunazione di 30 giorni. In effetti, l’ultima lunazione dell’anno, all’interno del ciclo di Metone, è per regola sempre di 30 giorni, ma con una eccezione: l’ultima lunazione del ciclo di Metone (cioè l’ultima lunazione dell’ultimo anno, quello con con numero d’oro pari a 19) deve essere di 29 giorni. Perciò gli anni con numero d’oro 19 ed epatta XIX completano la lunazione al 30 dicembre, mentre al 31 dicembre hanno il novilunio: infatti, per il saltus lunae il successivo anno con numero d’oro pari a 1 deve evere epatta XIX + 12 = I. Se non si tenesse in conto questo fatto, si salterebbe un novilunio (l’anno precedente lo metterebbe al 1 gennaio, e l’anno successivo lo vedrebbe al 31 dicembre). Per ricordare questo caso, al 31 dicembre, che usualmente è marcato con epatta XX, si introduce una epatta 19 nera, che segna il novilunio ed è da usarsi (vale come l’epatta XIX) negli anni con numero d’oro 19 ed epatta 19. Questo caso, tuttavia, non si ripresenterà fino all’anno 8500. Si noti che, se nel ciclo ci fosse un altro anno con epatta XX, ci sarebbero due anni nel ciclo con novilunio uguale e coincidente nel 31 dicembre. Ma non si può dare nello stesso ciclo l’epatta XIX al numero d’oro 19 e l’epatta XX in qualunque altro numero d’oro del ciclo.

Il caso dell’epatta XX, e quindi di novilunio il 31 dicembre, è invece di interesse quando l’anno in questione precede un anno secolare nel quale il calendario gregoriano abolisce il giorno bisestile. In questo caso, infatti, l’equazione solare riduce l’epatta di un giorno al passare al nuovo anno, che si trova ad avere epatta * invece di epatta I, cioè un altro novilunio ecclesiastico al 1 gennaio dopo quello del giorno precedente: in questo caso, sia pure formalmente, ci si trova ad avere una lunazione di un solo giorno! Questa stranezza, tuttavia, non si verificherà fino all’anno 4200. Ancora più tardi, e talvolta molto più tardi, si verificheranno altre lunazioni di durata anomala generate da altri fenomeni ‘di confine’ nell’applicazione delle regole gregoriane.

Un’ultima attenzione meritano gli anni bisestili. Ai fini del calcolo delle fasi lunari ecclesiastiche gli anni bisestili sono trattati allo stesso modo degli anni ‘normali’: in particolare, nel calendario perpetuo cui si è ora accennato, accanto al 1 marzo compare sempre il simbolo * indipendentemente dal fatto che l’anno in questione sia o meno bisestile (si ricorda che i mesi di gennaio e febbraio hanno lo stesso numero di giorni delle prime due lunazioni, pari a 59, e quindi l’epatta al primo gennaio è anche l’epatta al primo marzo; con la convenzione sugli anni bisestili ora descritta, questo accade anche se l’anno è bisestile). Ignorare ai fini dell’epatta i 29 febbraio intercalari ha l’effetto di eguagliare i 365 * 19 = (354 + 11) * 19 = 354 * 19 + 11 * 19 = 6935 giorni che costituiscono i 19 anni lunari più le corrispondenti epatte con i quasi 6940 giorni (esattamente 29,5306 * 235 = 6939,7) che costituiscono le 235 lunazioni del ciclo di Metone: infatti un ciclo di 19 anni solari (giuliani o in linea generale anche gregoriani) comprende 5 o 4 anni bisestili per un totale di 6940 o 6939 giorni. Questo, pur continuando a utilizzare la stessa tabella come calendario perpetuo anche negli anni bisestili. Tuttavia, le lunazioni che comprendono il 29 febbraio sono implicitamente allungate di 1 giorno (si possono avere perciò lunazioni di 31 giorni!), il che nel breve termine di quegli anni può essere una ulteriore fonte di approssimazione della luna ecclesiastica rispetto alla luna reale. Si può tuttavia mostrare che la periodicità quadriennale dei bisestili compensa la deriva delle altre approssimazioni della luna ecclesiastica nel ciclo di Metone, dunque trascurare i bisestili ha l’effetto complessivo di aumentare l’attendibilità delle predizioni del calendarium.

Il calendarium e il calcolo della Pasqua

Riportiamo di seguito la versione del calendario perpetuo valida per il nostro secolo. Si ricorda che l’epatta nulla (uguale all’epatta XXX) è indicata, per secolare abitudine antecedente l’introduzione dello zero, con una stella.

Il calendario perpetuo consente di trovare per ispezione, senza calcoli, tutti i noviluni dell’anno: essi sono individuati semplicemente dalle date corrispondenti all’epatta dell’anno. A partire dai noviluni si può con semplici calcoli ottenere l’età della Luna in un dato giorno dell’anno, in particolare il plenilunio.

Il calendario perpetuo può quindi essere usato direttamente per eseguire il calcolo della Pasqua. A questo fine interessa il plenilunio che cade il 21 marzo o che segue immediatamente questa data: la Pasqua cadrà nella prima domenica che segue il plenilunio. Il plenilunio cade 13 giorni dopo il novilunio escluso. La domenica può essere calcolata a partire dalla lettera domenicale dell’anno o mediante altra via che permetta di conoscere il ciclo settimanale.