Calendari lunari e lunisolari aritmetici

A noi utilizzatori di un calendario, che è l’ultimo e più perfetto risultato di una tradizione lunga oltre due millenni, sono ben noti i principi di progetto e di funzionamento dei calendari solari. Meno noti ci sono i calendari basati sul moto lunare, sebbene essi siano stati i primi ad affermarsi (tra essi i calendari greci, i primi calendari romani e anche il calendario arcaico degli egiziani) e siano tuttora largamente utilizzati, ad esempio nei paesi islamici. Ancor meno sappiamo degli accorgimenti usati per conciliare il ciclo lunare e il ciclo solare nei calendari detti lunisolari. Nella maggior parte dei calendari lunisolari la durata media dell’anno approssima quella dell’anno tropico ma alcuni calendari esotici, come quello hindu e quello buddhista, approssimano l’anno sidereo. I primi, cioè, regolano l’anno lunare sul ciclo stagionale, mentre i secondi sulle costellazioni. Solo dopo la scoperta della precessione degli equinozi nel II secolo a.C. diventò chiaro che i due calendari portavano a durate dell’anno leggermente diverse.

I calendari lunari

Il comune punto di partenza dei calendari lunari è la constatazione che un ciclo stagionale (solare) racchiude dodici mesi lunari più una frazione di lunazione. Da essa deriva peraltro anche il numero dei mesi dei calendari solari. Il periodo di dodici mesi lunari è noto come anno lunare, la cui durata è pari a 12 * 29,530590 = 354,367080 giorni, corrispondenti a 354 giorni 8 ore 48 minuti 36 secondi. Rispetto all’anno solare, all’anno lunare mancano quindi poco meno di undici giorni, per l’esattezza 10 giorni 21 ore e 10 secondi; la differenza con l’anno civile giuliano medio è quindi di 10 giorni 21 ore 11 minuti e 24 secondi; e con l’anno civile gregoriano medio è di 10 giorni 21 ore e 36 secondi. Ma tutti i calendari civili hanno l’esigenza di utilizzare periodi costituiti da un numero intero di giorni. Nei calendari più antichi accadeva certamente che l’inizio di ogni mese lunare fosse determinato per osservazione diretta (dell’istante della congiunzione o più facilmente dell’ultimo o del primo giorno di visibilità della Luna), senza alcuno schema precostituito di mesi di durata predefinita. Questo imponeva un metodo per rendere pubbliche fino agli angoli più remoti dello stato le decisioni di chi avesse l’incarico di eseguire l’osservazione del cielo (spesso naturalmente associato alle funzioni religiose). Dovette ben presto risultare più comodo adottare per i mesi durate predefinite e quindi già note a tutti, tali da approssimare in media la durata della lunazione. I calendari lunari, come si è detto, impiegano di solito mesi alternati di 30 e 29 giorni (detti rispettivamente mesi pieni e mesi cavi) per ottenere una media di 29,5 giorni. Dodici di questi mesi fanno un anno lunare civile di 6 * 30 + 6 * 29 = 354 giorni. I calendari lunari sono stati i primi ad essere storicamente adottati presso la generalità delle popolazioni antiche. Ma un calendario puramente lunare sperimenta evidentemente un rapido slittamento rispetto al ciclo delle stagioni. Per questo motivo molti calendari dell’antichità si sono evoluti cercando una conciliazione tra ciclo lunare e ciclo solare, con il duplice fine di limitare lo slittamento conservando al contempo gli elementi del calendario ormai familiari e abituali agli utilizzatori. Questi calendari prendono il nome di lunisolari. In tali calendari, infatti, si continua ad utilizzare il ciclo lunare di 354 giorni quale ciclo fondamentale allungandolo con l’opportuna inserzione di mesi supplementari di durata appropriata (octaeteris greca, lo stesso calendario romano di Numa). Probabilmente il maggiore stimolo all’evoluzione verso i calendari lunisolari è stato il fatto che le festività, civili e religiose, cadessero in stagioni diverse a distanza di pochi anni. Infatti l’obiettivo dei calendari lunisolari è di seguire da vicino, ma non con precisione, il ciclo stagionale; chi studiò e adottò calendari solari, come gli Egizi, non era invece particolarmente interessato a impedire il fenomeno dello slittamento.

La conciliazione tra ciclo solare e ciclo lunare: la octaeteris

Un risultato noto da tempi molto antichi è che in otto anni solari sono contenute poco meno di 99 lunazioni. Infatti da un lato: 8 * 365,242199 = 2921,937592 giorni, mentre dall’altro: 99 * 29,530590 = 2923,528410. La differenza è pari a 2923,528410 – 2921,937592 = 1,590818 cioè 1 giorno 14 ore 10 minuti 47 secondi. Questa approssimazione, che non coinvolge periodi troppo lunghi rispetto alla vita umana, può essere trovata attraverso l’osservazione dei cicli solare e lunare e la sua scoperta non è ascritta a nessun nome specifico, ma fu largamente usata nei calendari greci. I calendari basati su questo ciclo dovranno aggiungere le tre mancanti alle 12 * 8 = 96 lunazioni già comprese negli otto anni lunari. Se si approssimano le lunazioni con mesi alterni di 29 e 30 giorni, i 96 mesi di base comprenderanno 12 * 354 = 2832 giorni, pertanto i tre mesi intercalari dovranno dividersi i residui 2922 – 2832 = 90 giorni. Non a caso questi calendari prevedono l’intercalazione di tre mesi di 30 giorni ciascuno. Lo schema d’intercalazione negli otto anni è libero. L’astronomo greco del I secolo a.C. Gemino di Rodi (Elementa astronomiae 8,33) suggeriva di distribuire i tre mesi aggiuntivi nel modo più equo, intercalando nel terzo, quinto e ottavo anno; questo schema minimizza lo scarto con il ciclo stagionale, ma non è sicuro che sia stato quello effettivamente utilizzato dai Greci. L’errore medio di questo calendario è di 2922 – 2921,937592 = 0,062408 pari a 1 ora 29 minuti 52 secondi ogni otto anni, il che conduce ad un errore di un giorno ogni 1 / 0,062408 ≅ 16 cicli di otto anni cioè ogni 128 anni circa. Questo errore è del tutto simile a quello del calendario (solare) giuliano.

La conciliazione tra ciclo solare e ciclo lunare: il ciclo romano o latercus

In 84 anni sono contenuti 84 * 365,242199 = 30680,344716 giorni, mentre in 1039 lunazioni sono contenuti 30682,283010 giorni; l’errore è pertanto di poco meno di due giorni. A bilanciare la mediocre approssimazione questo ciclo presenta due importanti vantaggi: 1) il numero di giorni di calendario è costante e sempre pari a 84 * 365 + 21 = 30681 giorni poiché in 84 anni sono sempre contenuti 21 anni bisestili; 2) per ogni ciclo la luna nuova (e le altre fasi lunari) si ripresentano non soltanto nelle stesse date di calendario (sia pure con scarsa approssimazione) ma anche negli stessi giorni della settimana (nel calendario giuliano), poiché 84 = 28 * 3. Per tali motivi il latercus fu adottato dalla Chiesa di Roma per il calcolo della Pasqua e a questo scopo fu sostenuto dalle Chiese occidentali contro il ciclo di Metone utilizzato dalla Chiese orientali. La questione secolare fu infine risolta in favore del secondo dal Concilio di Nicea del 325, sebbene la definitiva adozione del ciclo metonico come unico metodo per il computus in tutta la Cristianità si sia potuta constatare soltanto un paio di secoli dopo. Questo ciclo, infatti, è decisamente più preciso ma ne discendono regole di calcolo della Pasqua più complesse (le famose regole alessandrine), anche perché il giorno in cui cade la domenica deve essere determinato a parte sfruttando la lettera domenicale. Per poter stendere un elenco tabulare di tutte le domeniche di Pasqua con le regole alessandrine, occorre utilizzare il ciclo di 28 * 19 = 532 anni indicato da Vittore d’Aquitania e poi da Dionigi il Piccolo.

La conciliazione tra ciclo solare e ciclo lunare: il ciclo di Metone

L’astronomo ateniese Metone (V secolo a.C.) fu il primo astronomo di cui abbiamo il nome (ma la cosa era già nota ai Babilonesi) a osservare che 235 lunazioni sono quasi esattamente pari a 19 anni solari. Infatti, da un lato 235 * 29,530590 = 6939,688650 giorni e dall’altro 19 * 365,242199 = 6939,601781 giorni. Ne consegue che ogni 19 anni le fasi lunari tornano approssimativamente a cadere negli stessi giorni dell’anno. Il ciclo di 235 lunazioni è detto ciclo di Metone o ciclo metonico o ciclo lunare. Si dice poi numero d’oro di un anno il numero d’ordine dell’anno nel ciclo di Metone. Il numero d’oro, che varia tra 1 e 19, identifica gli anni nei quali le fasi lunari cadono negli stessi giorni dell’anno: perciò, negli anni caratterizzati dal medesimo numero d’oro i pleniluni, ad esempio, cadono nelle medesime date. Nell’Era Cristiana, l’anno 1 a.C. ebbe numero d’oro pari a 1, cioè fu il primo anno di un ciclo di Metone. Questa fu infatti l’implicita scelta di Dionigi il Piccolo, il monaco che stabilì l’anno nel quale avvenne l’incarnazione di Gesù Cristo, quando nel Liber de Paschate assegnò all’anno 532 dopo l’incarnazione del Signore, con il quale iniziavano le sue tavole pasquali, un numero d’oro pari a 1. Poiché 532 = 19 * 28 e poiché non esiste nella serie storica l’anno 0 dell’Era Cristiana, l’anno 1 a.C. ebbe numero d’oro pari a 1 (è da notare che il fattore 28 coincide, apparentemente in modo casuale, con la durata del ciclo solare nel calendario giuliano, allora in vigore, cioè al periodo in anni giuliani dopo il quale i giorni dell’anno tornano a cadere negli stessi giorni della settimana). Di conseguenza, il numero d’oro di un qualsiasi anno della nostra era si trova sommando 1 all’anno considerato e dividendo per 19: il resto della divisione è il numero d’oro (naturalmente se il resto è 0 il numero d’oro è 19). Alternativamente, per ottenere il numero d’oro si può dividere l’anno per 19 e aumentare il resto di 1 (con il vantaggio che non si può ottenere un resto pari a 0 e quindi non è necessario prevedere una eccezione). In formule, detto N il numero d’oro e A l’anno e indicando con mod19[…] l’operazione di resto della divisione per 19, si ha:

N = mod19[A] + 1

A rigore, 19 anni solari sono più brevi di 235 lunazioni di (6939,688650 – 6939,601781) * 24 = 0,086869 * 24 = 2,084856 ore ovvero di 2 ore 5 minuti e 5 secondi circa, o, all’inverso, il ciclo di Metone è più lungo di 19 anni solari di 2 ore e 5 minuti circa. Poiché (24 / 2,084856) * 19 ≅ 218,72 ne consegue che approssimativamente ogni 219 anni solari il novilunio si presenta in ritardo di un giorno rispetto a quanto previsto dal ciclo di Metone. Questo ovviamente è un calcolo di interesse puramente teorico, poiché gli anni solari civili sono espressi soltanto in giorni interi e quindi la loro durata media si discosta dalla reale durata dell’anno solare astronomico. Tuttavia, la durata media degli anni civili approssima meglio il ciclo di Metone, come emerge dalle considerazioni che seguono.
  • Nel caso degli anni gregoriani, 19 * 365,2425 = 6939,6075 giorni con una differenza rispetto a 235 lunazioni di (6939,688650 – 6939,6075) * 24 = 1,9476 ore, ovvero 1 ora 56 minuti e 51 secondi circa. La differenza è solo leggermente migliore di quella osservata per gli anni solari astronomici e 19 anni gregoriani sono mediamente ancora più brevi di 235 lunazioni di quasi due ore. Ciò consegue dalla bontà stessa dell’approssimazione gregoriana rispetto all’anno solare. Rispetto ai 219 anni circa del calcolo teorico, nel calendario gregoriano il novilunio si presenta in ritardo di un giorno rispetto a quanto previsto dal ciclo di Metone ogni (24 / 1,9476) * 19 ≅ 234 anni circa.
  • Nel caso degli anni giuliani 19 * 365,25 = 6939,75 giorni e la differenza tra 19 anni giuliani e 235 lunazioni è pari a: (6939,75 – 6939,688650) * 24 = 0,06135 * 24 = 1,4724 ore, ovvero a 1 ora 28 minuti e 21 secondi circa. Questa volta è il ciclo di Metone ad essere più breve di 19 anni giuliani medi, ma soltanto di 1 ora e mezza circa. Poiché (24 / 1,4724) * 19 ≅ 310 anni giuliani circa il novilunio si presenta in anticipo di un giorno rispetto a quanto previsto dal ciclo di Metone.
Se da questi calcoli in media si vuole passare alle situazioni reali, occorre considerare dove si colloca il periodo interessato rispetto al ciclo della regola bisestile e considerare il numero di giorni incluso dal ciclo metonico.
  • Diciannove anni giuliani possono contenere 6939 o 6940 giorni: essi contengono ordinariamente cinque anni bisestili e dunque 365 * 19 + 5 = 6940 giorni, a meno che i bisestili non cadano nel quarto (e quindi ottavo, dodicesimo e sedicesimo) anno del ciclo, nel qual caso contengono soltanto 365 * 19 + 4 = 6939 giorni. Pertanto, nel calendario giuliano si può individuare un “superciclo” composto da quattro cicli metonici, dei quali tre hanno durata di 6940 giorni e uno di 6939: si ritrova anche per questa via che il ciclo decennovennale giuliano ha durata media di (6940 * 3 + 6939) / 4 = 6939,75 giorni (su questo vedi infra il ciclo di Callippo).
  • Diciannove anni gregoriani, invece, possono contenere 6938, 6939 oppure 6940 giorni: oltre ai casi comuni con gli anni giuliani, essi contengono 6939 giorni anche quando il periodo comprende un anno multiplo di 100 ma non di 400; inoltre essi contengono soltanto 365 * 19 + 3 = 6938 giorni quando l’anno multiplo di 100 ma non di 400 è il quarto (oppure l’ottavo, il dodicesimo o sedicesimo) anno del ciclo.
Peraltro, il ciclo di Metone è stato usato comunemente non in rapporto ai calendari solari, bensì per definire calendari lunisolari. Nella loro più semplice versione, i calendari basati sul ciclo di Metone contengono sempre 6940 giorni, in modo da limitare lo slittamento dell’inizio dell’anno lungo il ciclo stagionale con la minima complessità gestionale. La durata media dei 235 mesi lunari sarà pertanto di 6940 / 235 = 29,531915 giorni. Se, come spesso accade, i 235 mesi lunari devono essere suddivisi in 19 anni di calendario ciascuno comprendente 12 mesi più un eventuale mese intercalare, si è obbligati alla suddivisione in 12 anni di 12 mesi e 7 anni di 13 mesi. Questi mesi civili avranno una durata espressa in giorni interi, perciò, per approssimare la lunazione, dovranno alternarsi mesi di 29 giorni (usualmente detti mesi cavi) oppure di 30 giorni (mesi pieni). Tuttavia, la ripartizione in 12 anni di 12 mesi e 7 anni di 13 mesi, con vincolo di 6940 giorni complesivi, non permette di avere la semplice alternanza di mesi lunari di 29 e 30 giorni. Ciò è conseguenza del fatto che la lunazione non è esattamente uguale bensì di poco superiore a 29,5 giorni, pertanto il numero di mesi di 30 giorni dovrà essere leggermente superiore a quello dei mesi di 29 giorni. Infatti, delle otto possibili scomposizioni di 6940 in somme di multipli di 29 e di 30 (e soltanto loro) che qui per comodità riportiamo:
  1. 6940 = 9 * 30 + 230 * 29
  2. 6940 = 38 * 30 + 200 * 29
  3. 6940 = 67 * 30 + 170 * 29
  4. 6940 = 96 * 30 + 140 * 29
  5. 6940 = 125 * 30 + 110 * 29
  6. 6940 = 154 * 30 + 80 * 29
  7. 6940 = 183 * 30 + 50 * 29
  8. 6940 = 212 * 30 + 20 * 29
solo la scomposizione 5. ha un totale di 235 mesi tra cavi (110) e pieni (125), pari al numero di lunazioni. In tale scomposizione però la differenza tra i due addendi non è pari a 7, pertanto non è possibile l’alternanza semplice tra i soli 12 mesi regolari di un anno. Invece, l’effettiva distribuzione di mesi cavi e pieni sarà caratteristica del particolare calendario metonico.

Un esempio di applicazione del ciclo di Metone: il calcolo della Pasqua giuliana

Un interessante esempio di applicazione del ciclo di Metone si ha con le regole alessandrine per il calcolo della Pasqua nel calendario giuliano. In questo caso la funzione del ciclo non è di allineare un calendario lunare con le stagioni, ma di conciliare il calendario civile di riferimento, che è solare, con la Pasqua, che segue un calendario lunare. Per ciò che riguarda il calendario solare, abbiamo già evidenziato supra che in tre casi su quattro i 19 anni giuliani sono composti da 365 * 14 + 366 * 5 = 6940 giorni, mentre nel quarto caso essi mancano di un giorno, ben approssimando in tal modo il reale ciclo metonico. Riguardo il calendario lunare, gli alessandrini usarono lo schema predittivo del comportamento della Luna poi divenuto noto come luna ecclesiastica, secondo il quale: la durata della lunazione semplice è di 30 giorni, la durata di due lunazioni è di 59 giorni (ma gennaio e febbraio fanno due lunazioni esatte sia negli anni ordinari che bisestili) e la durata dell’anno lunare è di 354 giorni; il novilunio, che inizia all’apparire della prima falce, corrisponde ad una età della Luna pari a 1, mentre il plenilunio cade 13 giorni dopo il novilunio. I 19 anni solari sono pertanto scomposti in 19 anni lunari, di 354 o 355 giorni rispettivamente negli anni ordinari e bisestili, più una differenza di 11 * 19 = 209 giorni, per un totale di: 14 * 354 + 5 * 355 + 209 = 6940 giorni. Poiché i 209 giorni sono equivalenti a 6 * 30 + 29, il numero di mesi cavi nei 19 anni è di 14 * 6 + 5 * 5 + 1 = 110, mentre il numero di mesi pieni è di 14 * 6 + 5 * 7 + 6 = 125, coerentemente con quanto abbiamo ricavato in generale. Osserviamo che la regola d’intercalazione del giorno bisestile, benché di origine del tutto indipendente dal ciclo metonico, è in perfetta armonia con i vincoli del ciclo stesso: è il bisestile che trasforma cinque mesi lunari di 29 giorni in altrettanti di 30 giorni e consente di bilanciare mesi cavi e pieni esattamente come richiesto. L’argomento sembra concluso, ed invece è rimasto un problema. Infatti è immediato osservare che l’età della Luna ogni 19 anni arretra di un giorno, mentre per l’essenza stessa del ciclo metonico dovrebbe riproporsi sempre uguale. Ciò consegue dal fatto che i 209 giorni corrispondono a sei lunazioni intere più 29 giorni soltanto, mentre la lunazione ecclesiastica è di 30 giorni. Gli astronomi alessandrini scelsero pertanto di aggiungere semplicemente un giorno ai 209 portandoli a 210 = 7 * 30. Per questo introdussero la regola per la quale l’epatta (cioè l’età della Luna importata da un anno al successivo) aumenta sempre di 11 unità da un anno al successivo, tranne quando si passa dal numero d’oro 19 al numero d’oro 1, cioè da un ciclo metonico al successivo, nel qual caso si fa aumentare non di 11 ma di 12 unità (il cosiddetto saltus lunae). Ma aggiungendo 210 giorni invece di 209 non si altera forse la durata complessiva del ciclo, che diviene 354 * 14 + 355 * 5 + 210 = 6941 giorni? In realtà no, perchè l’aggiunta di un giorno è apparente: infatti, aggiungere 11 oppure 12 giorni all’epatta dell’anno precedente non allunga il computo metrico dei giorni, sposta soltanto la predizione del novilunio (aggiungere un giorno all’epatta significa anticipare l’occorrenza del novilunio di un giorno). Ma perché è necessario spostare il novilunio? Perché, nel corso dei 19 anni, i noviluni ecclesiastici perdono un giorno su quelli reali, cioè alla fine dei 19 anni cadono un giorno dopo di quelli reali. Infatti, da un lato la durata effettiva dell’anno lunare è prossima a 12 * 29,530590 = 354,367080, il che significa che l’anno lunare ecclesiastico tende ad anticipare il novilunio di circa 0,367080 * 19 ≅ 7 giorni; dall’altro la regola bisestile giuliana aggiunge 5 giorni, cui si deve cumulare l’eccesso delle sei lunazioni di 30 giorni pari a (30 – 29,530590) * 6 ≅ 3 giorni, per un totale di 8 giorni di ritardo. L’effetto netto è appunto il ritardo di un giorno della predizione ecclesiastica rispetto alla situazione reale. Alla stessa conclusione si giunge equivalentemente in altro modo. Se assumiamo, per comodità ma senza perdita di generalità, che il primo novilunio del ciclo cada il 1 gennaio (questo accade negli anni con numero d’oro pari a 3), l’ultimo novilunio cadrà dopo circa 23,530590 * 234 ≅ 6910 giorni, ma l’intervallo predetto con le regole alessandrine sarà di 14 * 354 + 5 * 355 + 6 * 30 = 6911 giorni. Questo esempio illustra perfettamente come i vari fenomeni concorrenti coinvolti si compensino con lo scorrere degli anni nell’approssimazione ecclesiastica. In questa giostra di bilanciamenti gioca un ruolo essenziale il giorno bisestile: introdotto per tutt’altre e ben note ragioni, il bisestile contribuisce ad adattare il ciclo solare giuliano al ciclo metonico, purché all’atto pratico sia ignorato. Ecco perché gli anni bisestili non sono diversi ai fini ecclesiastici da quelli ordinari: come gennaio e febbraio assieme fanno due lunazioni intere negli anni ordinari (infatti 31 + 28 = 59 = 29,5 * 2), così le devono fare anche negli anni bisestili, nonostante i giorni salgano a 60, poiché il giorno aggiuntivo compensa altri fenomeni. Questa è la ragione per la quale la luna ecclesiastica non considera mai l’anno bisestile come una eccezione.

La conciliazione tra ciclo solare e ciclo lunare: il ciclo di Callippo

Nonostante la buona approssimazione offerta dal ciclo di Metone, i calendari basati sul vincolo di 6940 giorni soffrono di un errore apprezzabile: poiché 1 / (6940 – 6939,688650) ≅ 3,2 e poiché d’altro canto 1 / (6940 – 6939,601781) ≅ 2,5, circa ogni 3 cicli tali calendari ritardano di un giorno sulla luna nuova e di un giorno sul ciclo delle stagioni. Non a caso, si ritiene, nell’Isagoge di Gemino e nell’Almagesto di Tolomeo, oltre che in pochi resti papirologici, si incontrano relitti di un calendario, probabilmente di uso strettamente astronomico, basato su un multiplo del ciclo metonico, il cosiddetto ciclo di Callippo. Per definirlo, infatti, sembra certo che l’astronomo del IV secolo a.C. Callippo di Cizico abbia considerato la durata dell’anno solare pari a 365,25 giorni e di conseguenza abbia scelto la durata di un ciclo metonico pari a 365,25 * 19 = 6939,75 giorni. Per ricondursi a un numero intero di giorni egli definì un ciclo costituito da quattro cicli metonici, pari a 4 * 19 = 76 anni solari e costituito da 76 * 365,25 = 27759 giorni. Poiché un ciclo di Metone comprende 235 mesi lunari, un ciclo di Callippo è composto di 235 * 4 = 940 mesi lunari. Il ciclo di Callippo offre un migliore allineamento verso l’anno solare rispetto al ciclo di Metone (dura un giorno in meno del periodo di quattro cicli metonici presi singolarmente pari a 6940 * 4 = 27760 giorni), ragione per la quale, probabilmente, è stato impiegato per annotare osservazioni astronomiche come quelle riportate da Tolomeo nell’Almagesto. Secondo Gemino, il ciclo metonico aveva 110 mesi cavi (come nella scomposizione 5. sopra rappresentata) e la distribuzione dei mesi cavi e pieni era ottenuta considerando tutti i mesi come pieni e sottraendo un giorno ogni 64 (i mesi cavi non erano numerati da 1 a 29, ma il giorno era soppresso mantenendo la numerazione da 1 a 30). Questo metodo è quello che garantisce la più uniforme distribuzione dei mesi cavi nel ciclo (infatti, poiché 235 * 30 = 7050, per ricondurre la durata a 6940 occorre cancellare 110 giorni, cioè uno ogni 7050 / 110 = 64 resto 10) e, sempre secondo Gemino, fu mantenuta anche nel ciclo callippico (ma non è chiaro con quali adattamenti, poiché l’interpretazione più semplice, cioè che i 64 giorni siano stati contati senza interruazione dal principio dell’anno 1 alla fine dell’anno 76, ancora non spiega come e dove fosse sottratto il giorno in più dei 27760 di quattro cicli metonici). Sembra che il primo ciclo di Callippo sia iniziato il 28 giugno 330 a.C. (giuliano prolettico) e sia rimasto in uso almeno fino al I secolo d.C.